Fonction (strictement) croissante sur un intervalle

Définitions

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\).

• On dit que \(f\) est croissante sur \(I\) si, pour tous réels \(a\) et \(b\) de \(I\) tels que \(a<b\), on a \(f(a)\color{red}\leq f(b)\) (inégalité large).
• On dit que \(f\) est strictement croissante sur \(I\) si, pour tous réels \(a\) et \(b\) de \(I\) tels que \(a<b\), on a \(f(a)\color{red}< f(b)\) (inégalité stricte).
  

Illustration graphique

Le plan est muni d'un repère orthonormé.
Voici la courbe représentative d'un fonction croissante sur l'intervalle \([-3;6]\).

​​​​​​Voici la courbe représentative d'une fonction strictement croissante sur \([-1;+\infty[\).

Exemple

La fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=3x-1\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

• Première méthode
  La fonction \(f\) est une fonction affine. Son coefficient directeur est \(3\). Il est strictement positif. La fonction affine \(f\) est donc strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
  
• Deuxième méthode
  Soit \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a<b\). On détermine le signe de \(f(a)-f(b)\).\(f(a)-f(b)=3a-1-(3b-1)=3a-1-3b+1=3a-3b=3\times a-3\times b\)
  Et donc \(f(a)-f(b)=3(a-b)\) or \(3>0\) et \(a-b<0\) puisque \(a<b\).
  Le nombre \(f(a)-f(b)\) est le produit de deux nombres réels de signes contraires. Donc, d'après la règle des signes, il est strictement négatif. 
  Finalement on a : \(f(a)-f(b)<0 \iff f(a)<f(b)\)
  On a donc démontré que, pour tout couple \((a;b)\) d'éléments de \(\mathbb{R}\) tels que \(a<b\), on a \(f(a)\color{red}< f(b)\).
  Ceci signifie que la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
  
• ​​​​​​Troisième méthode
  On utilise les propriétés sur les inégalités.
  Soit \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a<b\).
  On multiplie les deux membres de cette inégalité par le nombre positif \(3\).
  On obtient : \(3a<3b\)
  On ajoute \(-1\) à chaque membre de cette inégalité.
  On obtient : \(3a+(-1)<3b+(-1)\) ce qui équivaut à \(3x-3<3b-1\).
  Soit \(f(a)<f(b)\).
  La fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).